Beantwortung der Fragen zur Prüfung aus DG I

Entstellt von Florian Medicus im Marz 2000. Die Antwortliste wurde von Prof. Glaeser gesehen und in Ordnung befunden.

 

  1. Hauptziele der DG

Entwicklung des räumlichen Anschauungsvermögens.

Erwerb der für die Praxis nötigen Abbildungsmethoden und deren problemgerechte Anwendung.

Entwicklung der sprachlich-korrekten Ausdrucksweise.

  1. Zentralprojektion- Die Zentralprojektion oder Perspektive ist eine Nachbildung des natürlichen Sehprozesses (allerdings des einäugigen, nicht plastischen Sehens). Techn. Verwirklichung: fotografische Kamera, bei der an Stelle des Projektionszentrums die Linse, an Stelle der Bildebene die (ebene) Filmschicht zu setzen ist. Parallelprojektion- Sonderfall der Zentralprojektion, bei welchem der Augpunkt ein (durch die Richtung p gegebener) Fernpunkt O ist. Alle Projektionsgeraden sind somit zueinander parallel. Parallele Graden haben parallele Bilder (Parallelentreue der Parallelprojektion). Bei der Parallelprojektion bleibt das Teilverhältnis einer Strecke erhalten. (Teilverhältnistreue – Nachweis mittels Strahlensatz). Normalprojektion- es gelten alle Regeln der Parallelprojektion. Geraden, die nicht parallel zu p liegen, erscheinen stets verkürzt. Der Abbildungsvorgang ist, im Gegensatz. Zum Rekonstruktionsvorgang, eindeutig. Durch Beifügen einer Zahl (Kote) zum Bildpunkt, welche den vorzeichenbehafteten Abstand des Raumpunktes von p angibt, kann man eine Normalprojektion auf eine (meist waagrechte) Bildebene zu einer kotierten Projektion ergänzen.
  2. In der Ebene gibt es ¥ 2 Punkte und ¥ 2 (= gleich viele) Geraden.
  3. Im Raum gibt es ¥ 3 Punkte, ¥ 4 Geraden und ¥ 3 Ebenen Þ Es gibt gleich viele Punkte wie Ebenen, aber ¥ mal so viele Geraden im Raum. Folgen: Drehung um eine allgemeine Gerade im Raum ist vergleichsweise schwer vorstellbar ; man benötigt zwei Seitenrisse, um eine Gerade projizierend zu machen, aber nur einen Seitenriss für eine Ebene.

  4. Dualitätsprinzip:„Eigenschaft zweier geometrischer Gebilde, die es gestattet, aus Kenntnissen über das eine Sätze über das andere abzuleiten".
  5. 1) Dualitätsprinzip der Ebene: Eine geometrische Aussage, in der nur Begriffe Punkt, Gerade, verbinden und schneiden vorkommen, bleibt richtig wenn man Punkt mit Gerade bzw. verbinden und schneiden vertauscht. Zum Beispiel: 2 Punkte È ergeben eine Gerade, 2 Geraden Ç ergeben einen Punkt.

    2) Raum: Man vertausche Ebene mit Punkt und Verbinden mit Schneiden (der Begriff Gerade bleibt unangetastet). Zum Beispiel: 3 Punkte È ergeben eine Ebene, drei Ebenen Ç einen Punkt; eine Gerade È mit einem Punkt ergibt eine Ebene, eine Geraden Ç Ebene ergibt einen Punkt.

    Ebenfalls dual: Die Sätze von BRIANCHON und PASCAL.

  6. Axonometrisches Prinzip: Der abzubildende Gegenstand wird zunächst auf ein rechtwinkeliges Koordinatensystem Uxyz bezogen, das man bei technischen Objekten den meist vorhandenen Hauprichtungen (Länge, Breite, Höhe) zwanglos anpassen kann. Þ ebenes Dreibein. Pohlke: „Jedes beliebige ebene Dreibein UsAsBsCs kann i.a. als Parallelriss eines gleichschenkeligen rechtwinkeligen räumlichen Dreibeins gedeutet werden." Die Richtung des ebenen Dreibeins und die Einheitspunkte können daher frei gewählt werden. Für p^ p liegt eine normale, für p nicht ^ p eine schiefe Axonometrie vor. Die Abbildung, welche durch Eintragen der Koordinatenwege der Objektpunkte in ein ebenes Dreibein UsAsBsCs entsteht, heißt: eine Axonometrie. Die Verzerrungsverhältnisse der Koordinatenachsen x, y, z sind l , m , n (beliebig wählbar).
  7. Beispiel Stechzirkelaxonometrie: siehe Punkt 17.

  8. Schiefe Parallelprojektion: a) Schrägprojektion auf die Aufrissebene Þ Frontalriss (Kavalierriss) : m = n = 1 Þ alle Figuren parallel zur yz-Ebene erscheinen in wahrer Größe. b) Schrägprojektion auf die Grundrissebene Þ Horizontalriss (Militärriss) : l = m =1 Þ alle Figuren parallel zur xy-Ebene erscheinen in wahrer Größe (ÖNORM A 6061, der Militärriss ist durch j = 30° und die Proportion sx :sy :sz = 1: 1: 0,5 angegeben. Dieser Proportion entspricht vz = ½ .)

c) Parallelbeleuchtung (Lichtquelle als Fernpunkt Þ Lichtstrahlen sind parallel ; z. B.: Sonne). Der Lichtstrahl durch einen Raumpunkt P schneidet die Schirmebene im Schattenpunkt Ps . Da der Lichtstrahl i.a. nicht senkrecht auf die Ebene auftrifft und alle Lichtstrahlen zueinander parallel sind, kann der Schatten als Bild einer schiefen Parallelprojektion gesehen gedeutet werden.

  1. Zwei Normalprojektionen eines Gegenstandes auf zwei zueinander normale Bildebenen ergeben gepaarte Normalrisse (Grund -, Auf - und Kreuzriss).

Werden Grund -und Aufriss so in eine Zeichenebene gelegt,dass alle Bildpunktepaare (z.B. P¢ und P² ) auf zueinander parallelen Geraden ^ y (Ordner) liegen, so werden sie zugeordnete Normalrisse genannt.

Aus der Kenntnis von zwei solchen Rissen, lassen sich die Raumkoordinaten eines Punktes rekonstruieren.

8. Schnittaufgaben: S1: Gerade Ç Ebene Þ (Durchstoß-) Punkt (konstruktion mit Hilfe der sogenannten Deckgerade)

S2: Ebene Ç Ebene Þ Gerade (zweimalige Anwendung von S1)

S3: 3 Ebenen Þ Punkt (zuerst S2 anwenden, dann S1)

  1. Schlagschatten, Eigenschatten (speziell Prismen, Pyramiden, Kugel, Kegel, Zylinder):
  2. Um den Schatten Ps des Punktes P auf einer Ebene e zu finden, legt man durch P einen

    Lichtstrahl und schneidet ihn mit der Ebene e (unterhalb der Ebene liegende Punkte: Lichtstrahl in Gegenrichtung ® geometrischer Schatten). Alle Punkte einer Graden g ergeben den Schatten gs (Schnittgerade der durch g verlaufenden Lichtstrahlebene l mit e ). Der Schatten der Geraden auf zwei Ebenen hat in deren Schnittgeraden einen Knick. Die Schatten windschiefer Geraden haben einen Schnitt (Doppelschattenpunkt), diesen zurückgeführt ergibt den Schatten einer Geraden auf die andere. Die lichtabgewendeten Seiten eines (ebenflächigen) Körpers liegen in dessen Eigenschatten, auf der dem Licht zugewandten Seite der Schirmebene liegt der Schlagschatten des Körpers (der durch die Adaption des Auges meist dunkler wirkt als der Eigenschatten). Die Trennungslinie zwischen dem beleuchteten und unbeleuchteten Teil eines Körpers nennt man die Eigenschattengrenze. Der Schatten der Eigenschattengrenze ist die Schlagschattengrenze.

    Der Schatten eines konvexen Körpers auf eine Ebene ist ein konvexes Polygon. Konvexe Körper werfen keinen (Schlag-)Schatten auf sich selbst.

    Prismen: Man lege die zum Schatten einer beliebigen Prismenkante parallelen Streifgeraden an die Basisfigur. Pyramiden: Man lege aus dem Schattenpunkt der Spitze die Streifgeraden an die Basisfigur. Kugel: Die die Kugel berührende Lichtstrahlen bilden einen Drehzylinder (Parallelbeleuchtung) bzw. einen Drehkegel (Zentralbeleuchtung). Der Schlagschatten der Kugel auf einer Ebene ist daher eine Kegelschnittslinie. Bei Parallelbeleuchtung ist die Eigenschattengrenze der Kugel ein Großkreis, ihr Schlagschatten eine Ellipse (Ebene normal auf die Projektionsrichtung Þ Schlagschatten ist ein Kreis). Kegel: Zuerst konstruiere man den Schattenpunkt der Spitze, aus diesem Punkt werden die Tangenten an den Basiskreis gelegt (Schlagschatten). Die Erzeugenden aus den Berührpunkten dieser Tangenten sind teile der Eigenschattengrenze. Zylinder: Ein Teil der Eigenschattengrenze besteht aus jenen Erzeugenden, längs welcher die Lichtebene Tangentialebene an den Zylinder ist. Man konstruiert den Schatten einer beliebigen Erzeugenden, und legt die dazu parallelen Tangenten an den Basiskreis. Zusammen mit dem Schatten des Deckkreises (Ellipse) ergibt sich der Schlagschatten des Zylinders.

  3. Schattenprofile Þ Untersuchung der Beschattung eines Grundstücks durch ein Gebäude. In Abständen von einer Stunde werden Schatten gezeichnet, aus dem Schnitt der Schattengrenzen ergeben sich Punkte (® Kurven) mit gleich langer Beschattungszeit bzw. Flächen mit Höchst- und Mindestschattendauer (Kern-, Halbschatten). Die Hüllkurve (mehrere Tage übereinander) begrenzt jenen Geländebereich, der niemals länger als eine Stunde im Schatten liegt.
  4. Die Bahnkurve eines Schattenpunktes ist i.a. eine Hyperbel.

  5. Axiale Affinität: Eine umkehrbar eindeutige Zuordnung der Punkte zweier Ebenen e , a heißt axiale Affinität, wenn sie folgende beide Eigenschaften aufweist: 1. Entsprechende (d.h. einander zugeordnete) Punkte Pe , Pa liegen auf parallele Geraden (Affinitätsstrahlen). 2. Die den Punkten einer Geraden in e entsprechenden Punkte liegen wieder auf einer Geraden (in a ) und umgekehrt: Geradentreue. Entsprechende Geraden schneiden einander auf einer festen Geraden a (® Affinitätsachse). Teilverhältnis-, Parallelentreue. Jede axiale Affinität ist durch die Angabe der Affinitätsachse a und eines Paares entsprechender Punkte (nicht Î a) festgelegt. Þ Vervollständigungsaufgabe.
  6. Axial-affin sind a) eine ebene Figur und deren Parallelriss auf einer Bildebene; b) eine ebene Figur und deren Parallelschatten auf eine Schirmebene; c) je zwei ebene Schnitte eines Prismas; d) durch Drehung gekoppelte Schräg- und Hauptlage einer ebenen Figur und e) je zwei ebene Schnitte einer Zylinderfläche usw.. Unter orthogonaler Affinität versteht man eine Affinität, deren Affinitätsstrahlen normal auf die Affinitätsachse treffen (z.B. eine Ellipse aus ihrem großen Scheitelkreiskreis.
  7. Zwei Kreis- bzw. Ellipsendurchmesser heißen konjugiert (=zusammengehörend), wenn die Tangenten in den Endpunkten des einen parallel zum anderen Durchmesser sind. „Durchmesser von Kegelschnitten, der durch die Halbierungspunkte aller Sehnen geht, die einem anderen Durchmesser parallel sind."
  8. Seitenrisse: Ein Seitenrisses ist eine zusätzliche Normalprojektion, die mit einem vorhandenen Riss gepaart ist. Der vorzeichenbehaftete Abstand des wegfallenden Risses von der wegfallenden Rissachse ist gleich dem Abstand des neuen Risses von der neuen Rissachse. Verwendung: 1) Herstellen allgemeiner Ansichten (Axonometrie besser). 2) Projizierendmachen einer Ebene - d.h. die Ebene erscheint im Seitenriss als Gerade, die zusätzliche Bildebene ist normal zur Hauptgeraden (im Grundriss zur h1; im Aufriss zur h2) der Ebene zu wählen). 3) Projizierendmachen einer Geraden (die erste zusätzliche Bildebene ist parallel zur Geraden, die zweite normal zur Geraden zu wählen).
  9. Prinzip des gedrehten Seitenrisses: Man verdreht die neue Rissachse 13 solange, bis sie mit der 12-Achse zusammenfällt (die Bildpunkte P´´ und P´´´ liegen dann auf einer zur 12-Achse parallelen Geraden; Aufriss und gedrehter Seitenriss sind zwar zugeordnete aber nicht gepaarte Normalrisse).

  10. Maßaufgaben: (M1) wahre Länge einer Strecke s (z.B. anhand eines Seitenrisses, 1/3-Achse ê ê s). (UM1) Auftragen einer vorgegebenen Strecke auf einer gegebenen Geraden. (M2) Errichten einer Normalen auf eine Ebene. Die Normalrisse zweier orthogonaler (= rechtwinklig) Geraden sind genau dann orthogonal, wenn mindestens eine der Geraden parallel zur Bildebene liegt („Satz vom rechten Winkel") Þ die ersten Hauptgeraden der Ebene sind im Grundriss normal zu g, die zweiten Hauptgeraden im Aufriss (UM2) Aufsuchen der Normalebene n zu einer vorgegebenen Geraden g (die erste Hauptgeraden der Normalebene ist im Grundriss normal zu g zu wählen, die zweite Hauptgerade im Aufriss). (M3) wahre Gestalt einer ebenen Figur ® Paralleldrehen der Trägerebene um eine Hauptgerade (axiale Affinität). (UM3) Eintragen einer Figur gegebener Gestalt in eine Ebene e ( 1) Paralleldrehen von e . 2) Eintragen der Figur in wahrer Größe. 3) Zurückdrehen mittels orthogonaler Affinität ).
  11. Platonische Körper: sind konvexe Körper, die von lauter kongruenten Polygonen gleicher Art begrenzt werden. Die platonische Körper sind: Tetraeder (gleichseitige Dreiecke; 4 Ecken; 4 Flächen; 6 Kanten), Oktaeder (gleichseitige Dreiecke; 6 Ecken; 8 Flächen; 12 Kanten), Ikosaeder (gleichseitige Dreiecke; 12 Ecken; 20 Flächen; 30 Kanten), Würfel (Quadrate; 8 Ecken; 6 Flächen; 12 Kanten), Pentagondodekaeder (regelmäßige Fünfecke; 20 Ecken; 12 Flächen; 30 Kanten). Es gilt die Formel: E + F = K + 2.
  12. Stechzirkelaxonometrie: Die Stechzirkelaxonometrie ist grundsätzlich eine Normalprojektion die entsteht, wenn man das Objekt in zu p 1 geneigter Richtung p auf eine neue Bildebene p ^ p abbildet. Dieselbe Bildwirkung erzielt man jedoch auch derart, dass man p erstprojizierend, die Blickrichtung also horizontal wählt, und die Grundebene g (=p 1) samt Objekt kippt (zur Verdeutlichung dieses Vorgangs kann man einen zur Kippachse s = p 1 Ç p (Standlinie) normalen Seitenriss einführen, in dem die gekippte Grundebene projizierend erscheint und der Kippwinkel a abzulesen ist). Die Abstände der Punkte von der Standlinie und der Nulllinie (normal zur Standlinie, sonst beliebig)
  13. Hilfskonstr.: vö = v sina , zö = z cos a („geometrischer Taschenrechner"). Es gelten die Gesetze der Parallelprojektion Die Stechzirkelaxonometrie ist sehr genau, liniensparend und wegen der getrennten Lage von Angaberissen und Axonometrie auch übersichtlich; im Weiteren sind bei der Stechzirkelaxonometrie. nur geringe Bildverzerrungen zu erwarten. Vorteilhaft nehmen sich auch Darstellungen von Kreisen, Kugeln und Drehflächen aus bzw. lassen sich Schattenkonstruktionen aus den Angaberissen einfach in das Bild der Axonometrie übetragen.

  14. Kreisdarstellung in Normalprojektion bzw. schiefer Parallelprojektion. Der Normalriss eines Kreises r ist eine Ellipse, deren Hauptachse (2a = 2r) die planimetrische Normale zum Bild der Rotationsachse des Kreises ist. Die schiefe Parallelprojektion eines Kreises (insbesondere der auf eine Ebene geworfene Schatten eines Kreises bei Parallelbeleuchtung) ist eine Ellipse. Um diese zu finden, hat man ein Paar konjugierter (im Raum orthogonal) Kreisdurchmesser abzubilden Þ Rytz´ sche Achsenkonstruktion ® Haupt- und Nebenachse, Hauptscheitel- und Nebenscheitelabstände.
  15. Bei einer krummen Fläche F kann man zeigen, dass bei Betrachtung eines Punktes P (Î F ) und aller Flächenlinien l É P, die Tangenten an diese Kurven in P ein „Strahlbüschel" bilden, dass heißt in einer Ebene t liegen. t nennt man eine Tangentialebene oder Berührebene der Fläche F in P, die Normale n É P ^ t ist die Flächennormale in P. Þ Tangential- bzw. Normalenverfahren (zur Konstruktion der Tangenten an die Durchdringungskurve beim Schnitt zweier krummer Flächen).

20 a) Elliptischer Flächenpunkt: Die Fläche bleibt in der Umgebung des Punktes immer auf einer Seite der Tangentialebene (Kugel, Ellipsoid). Diese Flächen sind nicht abwickelbar. b) Hyperbolischer Flächenpunkt: Die Tangentialebene wechselt in der Umgebung des Punktes die Flächenseite (Hyperboloid, HP-Fläche), nicht abwickelbar. c) Parabolische Punkte: Die Tangentialebene berührt die Fläche nicht nur in einem Punkt, sondern längs einer ganzen Erzeugenden (Drehkegel, Zylinder, Torse). Flächen sind abwickelbar.

  1. Ein Punkt ist genau dann Umrisspunkt, wenn die Tangentialebene t projizierend erscheint, und liegt nur dann auf der Eigenschattengrenze, wenn die Tangentialebene gleich der Lichtebene ist (bzw. die Lichtquelle enthält).
  2. Der wahre Umriss ist jene Linie, die den sichtbaren Flächenteil vom unsichtbaren trennt (Menge aller Berührpunkte der Sehstrahlen mit der Fläche). Seine Projektion us in p heiß scheinbarer Umriss von F . Schatten: siehe Punkt 9.
  3. Hat eine Gerade maximal zwei Schnittpunkte mit einer Fläche, so ist die Fläche von 2. Ordnung. Beispiele für Flächen 2. Ordnung: Drehellipsoid, (einschaliges) Drehhyperboloid, Drehparaboloid, Drehzylinder, elliptischer Zylinder, Drehzylinder, Kugel... . Generell: Eine Fläche ist von n-ter Ordnung, wenn die zugeordnete (algebraische) Gleichung von n-tem Grad ist.
  4. Schatten von / auf Kugeln, Zylinder- und Kegelflächen (Schatten auf sich selbst). Die Lichtebene bzw. aus berührende Lichtstrahlen bestehende Fläche 2. Ordnung wird mit den Schirmebenen bzw. mit dem Objekt selbst (Schlagschatten auf sich selbst) geschnitten: Kegelschnitte; Kreise(siehe oben).
  5. Bewegt man eine Gerade e parallel längs einer Kurve l (Leitkurve), so überstreicht sie eine Zylinderfläche. Ein Drehzylinder entsteht durch Drehung einer zur Drehachse parallelen Geraden. Bewegt man eine Gerade e (Erzeugende), die stets durch einen festen Punkt S (Spitze, Scheitel) geht, längs einer Leitkurve l, so überstreicht e eine Kegelfläche. Drehkegel: (= gerader Kreiskegel), ein solcher liegt vor, wenn man l als Kreis und S auf dessen Rotationsachse wählt. Þ Ein Drehkegel entsteht durch die Rotation einer Geraden e um eine sie schneidende Achse a.
  6. Bewegt man eine Gerade e parallel längs einer Kurve l (Leitkurve), so überstreicht sie eine Zylinderfläche. Ein Drehzylinder entsteht durch Drehung einer zur Drehachse parallelen Geraden. Bewegt man eine Gerade e (Erzeugende), die stets durch einen festen Punkt S (Spitze, Scheitel) geht, längs einer Leitkurve l, so überstreicht e eine Kegelfläche. Drehkegel: (= gerader Kreiskegel), ein solcher liegt vor, wenn man l als Kreis und S auf dessen Rotationsachse wählt. Þ Ein Drehkegel entsteht durch die Rotation einer Geraden e um eine sie schneidende Achse a.

  7. Sonnenstandsgeometrie: Die Bahnkurve der Erde ist eine Ellipse, in deren Brennpunkt die Sonne steht, sie ist aber nahezu kreisförmig. Die Trägerebene der Ellipse (Ekliptik) schließt mit der Erdachse einen konstanten Winkel von etwa 23,45° ein. Der Polarkreis der Erde ist dabei der Ort aller Punkte, an dem die Sonne ein mal pro Jahr nicht auf- oder untergeht. Am 21. Juni steht die Sonne am Wendekreis des Krebses (23,45° n.Br.) im Zenith. Das Winterhalbjahr dauert 178, das Sommerhalbjahr 186 Tage. (® Kepler´sche Gesetze – gleiche Zeiten, gleiche Flächen Þ Erde muss schneller werden, wenn sie der Sonne näher kommt). Zeitgleichen: 21. März, 23. September; längster Tag: 21. Juni (knapp mehr als 16 Stunden); kürzester Tag: 21. Dezember (s. Anhang oder Homepage des Ordinariats für Geometrie)
  8. Man findet den Polarstern in Nordrichtung unter dem Höhenwinkel j (j = geographische Breite; Wien 48,2° ).
  9. Die Lichtstrahlen überstreichen im Laufe eines Tages einen Drehkegel, dessen Achse in Richtung des Polarsterns zeigt. Der halbe Öffnungswinkel s des Drehkegels ist unabhängig von der geographischen Lage und variiert im Intervall 90° - d [ s [ 908 + d . Zur geometrischen Ermittlung des halben Öffnungswinkels s denken wir uns den Bahnkreis k der Erde E in der Grundrissebene p 1 und die Erdachse a parallel zur Aufrissebene p 2. Die „Nullposition" der Lichtstrahlrichtung sei bei Frühlingsbeginn (21. März) erreicht. Zu jedem bestimmten Datum gibt es einen bestimmten Öffnungswinkel des Drehkegels S . Dieser ergibt sich nun darstellend geometrisch durch Paralleldrehen der Lichtstrahlrichtung s = ES um die Erdachse a im Aufriss: Die Drehachse ist Frontalgerade, so dass der Drehkreis von S zweitprojizierend erscheint. Die wahre Länge r der Strecke ES ist aus dem Grundriss bekannt (Þ E° " S° " = r).
  10. Zuerst bestimme man die datumsbestimmte Position der Erde auf einen im Grundriss liegenden Kreis (Erdumlaufbahn) Þ Die Achse des Kegels mit dem spezifischen halben Öffnungswinkel s wird der Nordsternrichrung angepasst (die Nordrichtung sei die y- Richtung des neue Koordinatensystems). Mittels eines geeigneten Seitenrisses (zum Aufriss) wird das Ziffernblatt gezeichnet (mit der Erde im Zentrum). Die Uhrzeit ergibt einen Hilfspunkt, der im Auf-und Grundriss die Lichtstrahlrichtung (HE) eindeutig festlegt.
  11. Um bei vorgegebener Lichtrichtung Datum und Uhrzeit zu bestimmen, müssen weiters die Nordrichtung und die geographische Breite j bekannt sein. Dann: 1) Anlegen eines Seitenrisses, in dem die Rotationsachse a der Erde in der Bildebene liegt; a hat die Neigung j zur Grundebene; Lichtstrahl s eintragen (Hilfspunkt H Î s). 2) Paralleldrehen von s´´´ um a´´´ in die Bildebene: s´´´ ® s0, H´´´® H0 .Der Winkel zwischen a´´´ uns s0 liefert den datums-charakteristischen Winkel s . Aus der in nicht polaren Zonen gültigen Näherungsformel ergibt sich sin(a )» 90° -s ° /d ° . Die beiden Lösungen a 1 = a und a 2 = 180-a ergeben den vorzeichenbehafteten zeitlichen Abstand vom Frühlingsbegin an. 3) Beim Paralleldrehen fällt automatisch der Winkel w an, der über die Tageszeit Aufschluss gibt: je 15° entsprechen einer Stunde. Aus der Grundrissrichtung (Nord – Süd - Achse) lässt sich schließen, ob die Zeitdifferenz von 12h ab- oder dazuzuzählen ist.
  12. Abwickelbarkeit: eine krumme Fläche ist dann abwickelbar, wenn man sie ohne Dehnung oder Stauchung in eine Ebene ausbreiten kann. Eine Abwicklung ist längen- und winkeltreu. Kriterium: Umriss darf aus keiner Blickrichtung gekrümmt sein. Abwickelbar: Kegel, Zylinder, Torsen (Tangentenflächen von Raumkurven. Z.B. das Oloid) Nicht abwickelbar: Alle anderen krummen Flächen (z.B. die Kugel).
  13. Gegeben seien zwei ebene Kurven (c1 und c2 in Ebenen e 1 und e 2), und s sei die Schnittgerade von e 1 und e 2 . In einem Punkt P1 (beliebig) der Kurve c1 legt man eine Tangente. Diese schneidet die Gerade s in einem Punkt T12. Aus T12 legt man nun eine Tangente an die Kurve c2 und erhält somit den Berührpunk P2 (auf c2) Die Gerade P1P2 ist dann eine Erzeugende der Verbindungstorse (die Tangenten in P1 und P2 spannen die Tangentialebene auf, die die Torse längs dieser Erzeugenden berührt). Beispiel: Oloid.
  14. Die Ellipse geht bei der Verebnung in eine Sinuskurve über. Der Winkel, den die Kurve k1 (bzw. deren Tangente) mit der zugehörigen Erzeugenden am Zylinder einschließt, bleibt in der Abwicklung erhalten. Der Krümmungsradius der verebneten Kurve in einem Punkt P stimmt mit dem Krümmungsradius der Normalprojektion der Flächenkurve auf die Tangentialebene im entsprechenden Flächenpunkt P überein.
  15. Ein Rohrknie besteht aus zwei miteinander geschnittenen Drehzylindern mit schneidenden Achsen und gleichen Durchmessern (materialisiert werden die Drehzylinder jeweils nur bis zur Schnittkurve). Þ Schnittkurve ist eine Ellipse. Die Verebnung besteht aus den beiden Restkörpern (die Sinuskurven berühren sich).
  16. Hilfskugelverfahren von Monge (Achsen : Kreuzgewölbe, Klostergewölbe und div. Kuppelformen werden meist mit Hilfe von zwei Halbdrehzylindern konstruiert..
  17. Algebraische Raumkurven sind die Schnittkurven algebraischer Flächen. Def.: Die Ordnung einer Raumkurve ist das Produkt der Ordnungen derjenigen Flächen, deren Schnitt diese Kurve ist. Þ Der Schnitt zweier Flächen 2. Ordnung ist daher eine Raumkurve 4. Ordnung. Weiters stimmen die Ordnung einer algebraischen Raumkurve und die Anzahl der Schnittpunkte dieser Kurve mit einer Ebene immer überein. Bei speziellen Verschneidungen von Flächen 2. Ordnung (z.B. Zylinder mit Zylinder, Kegel mit Kegel, Zylinder mit Kegel, usf.) tritt sehr oft der Fall ein, dass die Schnittkurve zwar eine Raumkurve 4. Ordnung ist, die aber in zwei ebene Kurven 2. Ordnung zerfällt. ® Doppelpunkte. Þ Wenn die Schnittkurve zweier Flächen 2. Ordnung zwei Doppelpunkte aufweist, zerfällt sie in zwei ebene Kurven 2. Ordnung.
  18. Als Drehfläche wird jede krumme Fläche bezeichnet, die durch Drehung um eine feste Achse in sich übergeht. (Vase auf einer Töpferscheibe) Þ Randkreis, Kehlkreis, Plattkreis.
  19. Jede Drehfläche ist eine Hüllfläche einer Drehkegel- und Kugelschar. Der Umriss einer Drehfläche, deren Achse zur Bildebene geneigt ist, weicht vom Meridian ab Þ Kugel-Kegel-Verfahren: Man verwendet eine die Drehfläche berührende Kugel bzw. einen die Drehfläche berührenden Drehkegel. Wegen der Linienberührung haben die drei vorliegenden Drehflächen in ihrem gemeinsamen Parallelkreis gemeinsame Umrisspunkte, die Erzeugenden des Kegels durch diese Punkte (Umrisserzeugende) liefern die Tangenten in den Umrisspunkten.
  20. Das Monge´sche Hilfskugelverfahren wird im Zusammenhang mit der Durchdringung zweier Drehflächen mit schneidender Achsen angewandt. Eine Kugel um den Achsenschnittpunkt schneidet die Drehflächen jeweils nach einen Kreisen. Diese Kreise werden wieder miteinander geschnitten und ergeben Punkte der Schnittkurve.
  21. Drehflächen 2. Ordnung entstehen durch Drehung eines Kegelschnittes um eine seiner Symmetrieachsen. Linsen- bzw. eiförmiges Drehellipsoid, Drehparaboloid, zweischaliges Drehhyperboloid. Das einschalige Drehhyperboloid entsteht durch die Drehung einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Achse. Es existieren zwei Scharen von Erzeugenden, wobei es auch durch kongruente Punktreihen auf zwei gleich großen koaxialen (= mit gleicher Achse) Kreisen erzeugt werden könnte.
  22. Der Torus entsteht durch die Drehung eines Kreises um eine in seiner Trägerebene liegende Achse, bzw. als Hüllkurve durch Drehung einer Kugel um eine Achse a. Die Mittelpunkt des Kreises bzw. der Kugel beschreibt dabei einen Kreis, die MittenlinieSein Umriss sind Parallelkurven zur Mittenlinie mit gleichem Krümmungradius. Bei gekippter Darstellung treten zumeist Umrissspitzen auf.
  23. Isophoten: Lambert‘sches Gesetz: die Helligkeit einer Fläche ist abhängig vom Einfallswinkel des Lichtstrahls (proportional zum Kosinus des Einfallswinkel; cosb =1 Þ 100 % Licht). Alle Flächenpunkte gleicher Helligkeit (bei parallelem Licht) beschreiben i.Allg. eine Flächenkurve: Lichtgleiche (Isophote) (Linien gleicher Energiestrahlung). Die Isophoten einer Kugel sind Kreise, deren Ebenen normal zur Lichtrichtung (bei Parallelbeleuchtung), bzw. normal auf die Verbindungsstrecke von Kugelmittelpunkt und Lichtquelle stehen. (Helligkeits- und Schattierungsgrad sind gegenläufig. Isophoten auf Kegel- und Zylinderflächen sind deren Erzeugende (Konstruktion kann mit Hilfe einer berührenden Kugel erfolgen). Eine Drehfläche kann durch eine andere Drehfläche ersetzt werden.
  24. Als Strahlfläche wird jede krumme Fläche bezeichnet, die durch Bewegung einer Geraden (Erzeugenden) entsteht. ® Zylinder, Kegel, Tangentenflächen von Raumkurven, HP-Flächen, einschaliges Hyperboloid, Konoide, Wendelflächen. Windschiefe Strahlflächen sind nicht abwickelbar.
  25. Einschaliges Hyperboloid: Drehung einer Geraden um eine zu ihr windschiefen Achse bzw. durch kongruente Punktreihen auf zwei gleich großen koaxialen Kreisen. Je zwei Erzeugende derselben Schar sind zueinander windschief. HP-Fläche: besteht aus allen Geraden, die zu einer Ebene parallel sind und zwei windschiefe Geraden treffen; durch kongruente (=deckungsgleich) Punktreihen, die zwei windschiefe Geraden treffen bzw. durch die Bewegung einer Parabel längs einer anderen.
  26. Zylinder; Kegel; einschaliges Drehhyperboloid
  27. Da Strahlflächen das Kriterium, dass der Umriss geradlinig sein muss i. a. nicht erfüllen.
  28. Abwickelbar sind Zylinder, Kegel, Torsen.

  29. Konoide bestehen aus allen Geraden, die zu einer Richtebene parallel sind, eine Kurve f und überdies eine Gerade l treffen. Beispiele sind die HP-Fläche und das Kreiskonoid.
  30. Schraubung: Def) Zusammensetzung aus einer Drehung um eine Achse und gleichzeitige proportionale Schiebung längs dieser Drehachse. Die Abwicklung einer Schraublinie ist eine Geraden mit konstanter Steigung. Die Ganghöhe ist die zu einer vollen Umdrehung gehörenden Schiebstrecke (h= 2p p), wobei p die Proportionalitätskonstante (=Parameter) ist. Der Grundriss einer Schraublinie ist ein Kreis (Schraubachse normal zu p 1). Punkt® Schraublinie; Linie® Schraubfläche; Gerade® Strahlschraubfläche, Kreis® Kreisschraubfläche). Spiralung: Entsteht bei Drehung um eine Achse a bei gleichzeitiger proportionaler Streckung aus einem festen Achsenpunkt (= Wickelpunkt). DNA-Strukturen (Doppel-Helix).
  31. Logarithmische Spiralen haben einen konstanten Kurswinkel (exponentieller Term, geometrische Folge) wobei der Ursprung ein asymptotischer Punkt ist. (ein Schmetterling fliegt ins Licht, weil das Feuer (Lampe) keine parallelen Lichtstrahlen ausschickt. Formel: r = r0.epj (p...Spiralparameter).Wenn der Kurswinkel 90° beträgt ® Kreis.
  32. Zylinder und Drehkegel.
  33. Schraub-, Spiralflächen: Wendelfläche ; Schneckenhäuser (wachsen logarithmisch jeden Tag um 1% ihres Volumens).
  34. Eine Helispirale entsteht beim Schnitt einer Wendelfläche mit einem koaxialen Drehkegel. Die Ganghöhe bleibt konstant. Keratine, Haare, Hörner (Antilopen, Ziegen)

Verwendete Quellen:

. DUDEN, Fremdwörterbuch (kursiv)

. Darstellende Geometrie 1, K. Kollars u. A. Nächt, htp- Verlag Wien

. Darstellende Geometrie 1, E. Frisch, Hochschule f. angewandte Kunst, Skript

. Darstellende Geometrie 2, Karl Lichtensteiner, R. Oldenburg Verlag Wien

. Wann steht die Sonne im Westen?, G. Glaeser, Univ. f. angewandte Kunst Wien

. Mitschrift aus der Vorlesung DG I, Prof. Glaeser im WS 1999/ 2000, ebd.

. dtV- Atlas zur Astronomie, 1997

. astronomisches Lexikon der Universität Freiburg, Internet

Anhang zur Erklärung der astronomischen Begriffe:

Astronomische Einheit Gebräuchliche Entfernungseinheit im Sonnensystem; eine Astronomische Einheit (kurz A. E.) ist die durchschnittliche Entfernung Erde-Sonne und entspricht 149,6 Millionen km.

Dämmerung Zeit kurz vor Sonnenaufgang bzw. kurz nach Sonnenuntergang, wenn in der Atmosphäre gestreutes Sonnenlicht schon/noch den Himmel erhellt. Man unterscheidet die bürgerliche Dämmerung (Sonne zwischen 0° und 6° unter dem Horizont - die hellsten Sterne tauchen auf), die nautische Dämmerung (Sonne zwischen 6° und 12° unter dem Horizont - nach allgemeinem Empfinden ist es dann dunkel) und die astronomische Dämmerung (Sonne zwischen 12° und 18° unter dem Horizont - dann wird es auch physikalisch dunkel).

Deklination Himmelskoordinate im Äquatorialsystem, die vom Himmelsäquator aus 90 Grad nach Norden (positiv) und Süden (negativ) gezählt wird; entspricht der geographischen Breite auf der Erde.

Drehimpuls Physikalische Größe, um das Verhalten von rotierenden oder um ein anderes Objekt laufenden Körpern zu beschreiben.

Ekliptik Griechisch "Finsternislinie"; die Linie, der die Sonne bei ihrem scheinbaren Lauf um die Erde folgt. Mond und Planeten stehen immer in der Nähe der Ekliptik; die von der Ekliptik durchlaufenen Sternbilder gehören zum Tierkreis (mit Ausnahme des Sternbilds Schlangenträger).

Frühlingspunkt Schnittpunkt der aufsteigenden Ekliptik mit dem Himmelsäquator; steht die Sonne im Frühlingspunkt, beginnt auf der Nordhalbkugel astronomisch der Frühling. Infolge der Präzession verschiebt sich der Frühlingspunkt entlang der Ekliptik.

Galaxien Gewaltige Sternsysteme, die im All in vielen Formen und Größen auftreten. Galaxien enthalten zwischen einige Millionen und über eine Billion Sterne. Oft gibt es in Galaxien zudem viel Gas und Staub. GroßeGalaxien haben meist eine regelmäßige Struktur und sind abgeflachte Spiralscheiben oder elliptisch geformt. Das Milchstraßensystem ist eine Spiralgalaxie von über 100.000 Lichtjahren Durchmesser undenthält mehr als 100 Milliarden Sterne.

Herbstpunkt Schnittpunkt der absteigenden Ekliptik mit dem Himmelsäquator; steht die Sonne im Herbstpunkt, beginnt auf der Nordhalbkugel astronomisch der Herbst.

Jahr Dauer eines Umlaufs der Erde um die Sonne; man unterscheidet verschiedene Jahreslängen - für die Zeit- und Kalenderrechnung entscheidend ist das tropische Jahr (Zeitspanne zwischen zwei Durchgängender Sonne durch den Frühlingspunkt), das 365 Tage, 5 Stunden, 48 Minuten und 46 Sekunden dauert.

Konjunktion Stellung eines Planeten, wenn er von der Erde aus gesehen genau in Richtung Sonne steht; Planeten in Konjunktion stehen unbeobachtbar am Tageshimmel. Bei den inneren Planeten Merkur und Venus unterscheidet man noch zwischen oberer Konjunktion (Sonne zwischen Planet und Erde) und unterer Konjunktion (Planet zwischen Sonne und Erde).

Perihel Griech.: Sonnennähe; sonnennächster Punkt einer Planetenbahn. Im Perihel ist die Erde 147,1 Millionen km von der Sonne entfernt. Û Aphel

Polarkreis beschreibt die Summe aller Punkte, an denen die Sonne ein Mal/ Jahr nicht auf- oder untergeht.

Scheinbare Helligkeit die Helligkeit, mit der ein Objekt am Himmel der Erde erscheint

Sommerpunkt Nördlichster Punkt der Ekliptik; steht die Sonne im Sommerpunkt, beginnt auf der Nordhalbkugel der Erde astronomisch der Sommer.

Sonnenwende Wendepunkt der Sonne bei ihrem scheinbaren Jahreslauf um die Erde. Bei der Sommersonnenwende läuft die Sonne durch den Sommerpunkt und erreicht ihren nördlichsten Punkt, bei der Wintersonnenwende läuft die Sonne durch den Winterpunkt und erreicht ihren südlichsten Punkt. („Wendekreis des Krebses" am 21. Juni Û 21. Dez)

Tag Der Sonnentag ist die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Sonnenmittelpunkts durch den Meridian (24 Stunden). Wegen der Erdbewegung um die Sonne verschiebt sich die Sonne an der Himmelssphäre pro Tag um etwa 1° nach Osten - der Sonnentag dauert daher etwa 4 Minuten länger als der Sterntag. Der Sterntag ist die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Frühlingspunkts durch den Merdian. Er dauert 23 Stunden, 56 Minuten und 4,1 Sekunden - das ist die tatsächliche Dauer der Erdrotation.

Winterpunkt Südlichster Punkt der Ekliptik; steht die Sonne im Winterpunkt, beginnt astronomisch der Winter.

Florian Medicus, März 2000